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Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

Autor: Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto
Editora: Cengage Learning
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OBJETIVOS DOS CAPÍTULOS

Capítulo 1

Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de

administração, economia e ciências contábeis podem ser representadas por

funções matemáticas. Nas análises iniciais dessas funções, serão ressaltados

conceitos como crescimento e decrescimento, função limitada e função composta,

sempre associados a aplicações nas áreas administrativa, econômica

e contábil. No Tópico Especial, por meio de diagramas de dispersão e do

coeficiente de correlação linear, você analisará mais aspectos da associação

entre variáveis matemáticas.

Capítulo 2

Nesse capítulo, você analisará as funções do primeiro grau e suas aplicações

estudando conceitos como taxa de variação; funções receita, custo e lucro;

break-even point; juros simples; restrição orçamentária, entre outros. Você

estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar graficamente a

função do primeiro grau. No Tópico Especial, com base no método dos

mínimos quadrados, serão apresentados os passos para obter o modelo de

regressão linear simples.

Capítulo 3

Nesse capítulo, você estudará situações práticas envolvendo as funções do

segundo grau a partir da construção e análise de seu gráfico. No esboço gráfico

da função do segundo grau, será dada atenção especial ao vértice da

parábola. Você notará que as coordenadas do vértice são úteis para a determinação

de valores máximos, valores mínimos e intervalos de crescimento

(ou decrescimento) das funções associadas. No Tópico Especial, de modo

2

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

similar àquilo que foi realizado no Tópico Especial do capítulo anterior,

serão apresentados os passos para obter o modelo de regressão quadrática.

Capítulo 4

Nesse capítulo, você analisará as funções exponenciais obtendo-as a partir

do fator multiplicativo. Você estudará aplicações da função exponencial

como o montante de uma dívida ou aplicação, juros compostos, o crescimento

populacional, entre outros. Você estudará também diferentes maneiras

de obter e interpretar a função exponencial. No final do capítulo, visando

à resolução de equações exponenciais, serão desenvolvidos os conceitos

elementares a respeito dos logaritmos. De modo similar ao que foi feito nos

Capítulos 2 e 3, o Tópico Especial trará os passos para obter o modelo de

regressão exponencial.

Capítulo 5

Nesse capítulo, você estudará as funções potências, polinomiais, racionais

e inversas analisando seus comportamentos e estudando seus principais

aspectos gráficos. Você notará que as funções potências são largamente

aplicadas ao estudar os processos de produção em uma empresa. Será apresentada

a função polinomial em sua forma geral, que pode ser explorada

em diversos fenômenos na área financeira. Você estudará as funções racionais

explorando algumas idéias relacionadas à teoria dos limites. Ao final

do estudo de tais funções, você trabalhará o processo de inversão de funções

e perceberá a utilidade da função inversa. O Tópico Especial fornecerá

os passos para obter dois importantes modelos de regressão: a regressão

potência e a regressão hipérbole.

Capítulo 6

Nesse capítulo, trabalhando os conceitos de taxa de variação média e taxa

de variação instantânea, você chegará ao conceito de derivada de uma função

em um ponto e seu significado numérico e gráfico. Fique atento à derivada

de uma função, pois trata-se de um dois conceitos mais importantes

do cálculo diferencial e integral. Nesse capítulo, você terá contato com as

primeiras aplicações da derivada na análise do comportamento local de

uma função e, nos Capítulos 8 e 9, você estudará inúmeras aplicações da

derivada na análise geral de uma função e de modelos da economia, administração

e ciências contábeis. O Tópico Especial trará o estudo da linearimat_

dade local de uma função a partir da equação da reta tangente à curva em

um ponto. Nesse tópico, você perceberá como a equação da reta tangente

pode substituir a expressão de uma função em uma localidade determinada

e como tal equação é útil para obter estimativas locais em fenômenos

aplicados.

Capítulo 7

Nesse capítulo, você estudará os procedimentos que permitem encontrar de

maneira prática as função derivadas, ou seja, dada uma função, você aplicará

as técnicas de derivação para obter sua derivada. Trata-se de um capítulo

em que o objetivo principal é obter de modo rápido a derivada de uma

função dada, portanto é importante que você treine cada técnica apresentada.

No Tópico Especial você complementará o estudo das técnicas de

derivação trabalhando a técnica da derivação implícita.

Capítulo 8

Nesse capítulo, você utilizará a derivada para estudar detalhadamente o

comportamento das funções, determinando seus principais valores e pontos

para a análise numérica e gráfica. Você perceberá como as derivadas

primeira e segunda são úteis para determinar intervalos de crescimento/

decrescimento; pontos de máximo/mínimo; diferentes taxas de crescimento/

decrescimento e pontos de inflexão de uma função. No Tópico Especial

você explorará em detalhes o significado dos pontos de inflexão de

uma função, ressaltando suas aplicações práticas.

Capítulo 9

Nesse capítulo, você analisará alguns dos usos mais importantes das derivadas

em economia e administração. Você estudará o significado econômico

da marginalidade avaliando o custo marginal, custo médio marginal,

receita marginal e lucro marginal. Outra aplicação das derivadas envolve o

conceito de elasticidade associada ao preço e a demanda de um produto e

sua relação com a receita, bem como a elasticidade associada à renda e à

demanda. Será também discutida a propensão marginal a consumir e a

poupar a partir das derivadas. No Tópico Especial será discutido o modelo

de lote econômico, enfatizando a importância da determinação do lote

econômico de compra de um produto.

3

Objetivos dos Capítulos

4

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

Capítulo 10

Nesse capítulo, será estudado, com abordagens práticas, o conceito de integral.

Com tal conceito, você verá, por exemplo, que é possível obter a

variação total da produção em um intervalo a partir da taxa de variação

da produção. Você obterá estimativas numéricas para a integral definida e

analisará a interpretação gráfica definida a partir do conceito de área. Você

verá como a integral definida pode ser útil na determinação do valor médio

de uma função. Você aprenderá como calcular a área entre duas curvas e

um dos significados do Teorema Fundamental do Cálculo, assuntos necessários

em aplicações práticas expostas mais adiante, no Capítulo 12. No

Tópico Especial, será apresentada a Regra de Simpson, como uma técnica

útil nas estimativas numéricas das integrais definidas.

Capítulo 11

Nesse capítulo, você estudará os procedimentos que permitem encontrar a

integral indefinida de uma função, ou seja, dada uma função, você aplicará

as técnicas de integração para obter sua integral indefinida. Trata-se de

um capítulo em que o objetivo principal é obter de modo rápido a primitiva,

ou integral indefinida de uma função dada, portanto é importante que

você treine cada técnica apresentada. Você treinará também uma maneira

de obter a integral definida de uma função a partir de sua integral indefinida

e do Teorema Fundamental do Cálculo. No Tópico Especial, você

complementará o estudo das técnicas de integração trabalhando a técnica

que permite obter algumas integrais impróprias.

Capítulo 12

Nesse capítulo, serão analisados alguns dos usos mais importantes das integrais

em economia e administração. Você estudará como é possível utilizar

a integral definida da taxa de variação para obter variação total da função

em situações práticas. Você analisará o significado econômico do excedente

do consumidor, do excedente do produtor e dos valores futuro presente

de um fluxo de renda em uma capitalização contínua. No Tópico Especial,

serão discutidos o índice de Gini e a curva de Lorenz, enfatizando a importância

e o significado desses conceitos em análises econômicas.

5

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – CONCEITO DE FUNÇÃO

Conceito de Função

Tipos de Função

Função Crescente ou Decrescente

Função Limitada

Função Composta

TÓPICO ESPECIAL – Dispersão e Correlação Linear

Diagrama de Dispersão

Correlação Linear

CAPÍTULO 2 – FUNÇÃO DO 1o GRAU

Modelos lineares

Funções do 1o Grau

Juros Simples

Restrição Orçamentária

Caracterização Geral

Obtenção da Função de 1o Grau

Exemplos de como Obter Funções do 1o Grau

Sistemas Lineares e as Funções do 1o Grau

TÓPICO ESPECIAL – Regressão Linear Simples

Modelo de Regressão Linear Simples

Passos para Ajuste da Reta de Regressão

6

CAPÍTULO 3 – FUNÇÃO DO 2o GRAU

Modelos de Funções do 2o Grau

Um Modelo de Função do 2o Grau

Caracterização Geral

Exemplos de Funções do 2o Grau

TÓPICO ESPECIAL – REGRESSÃO QUADRÁTICA

A Regressão Quadrática

CAPÍTULO 4 – FUNÇÃO EXPONENCIAL

Modelos de Funções Exponenciais

Utilizando um Fator Multiplicativo

Montante e Função Exponencial

Função Exponencial e Depreciação de uma Máquina

Função Exponencial e Juros Compostos

Caracterização Geral

Obtenção da Função Exponencial

1o Caso: Identificando Evolução Exponencial

2o Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos

3o Caso: Função Exponencial a partir do Fator Multiplicativo

Logaritmos e o logaritmo natural

Logaritmos

Propriedades dos Logaritmos

Tópico Especial – Regressão Exponencial

A Regressão Exponencial

CAPÍTULO 5 – FUNÇÕES POTÊNCIA, POLINOMIAL,

RACIONAL E INVERSA

Modelos de Função Potência

Produção, Insumo e Proporcionalidade

Produção e Taxas Crescentes

Produção e Taxas Decrescentes

A Lei de Pareto, Assíntotas e Limites

Caracterização Geral

1o Caso: Potências Inteiras e Positivas

2o Caso: Potências Fracionárias e Positivas

3o Caso: Potências Inteiras e Negativas

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

Modelos de Função Polinomial

Função Polinomial e o Preço de um Produto

Caracterização Geral

Modelos de Função Racional

Função Racional e a Receita

Caracterização Geral

Função Inversa

Obtendo a Inversa de uma Função Exponencial

Existência da Função Inversa

TÓPICO ESPECIAL – Regressão Potência e Hipérbole

Modelo de Regressão Potência

Modelo de Regressão Hipérbole

CAPÍTULO 6 – O CONCEITO DE DERIVADA

Taxa de Variação

Taxa de Variação Média

Taxa de Variação Média em um Intervalo

Taxa de Variação Instantânea

Derivada de uma Função em um Ponto

Derivada de uma Função como Taxa de Variação Instantânea

Interpretação Gráfica da Derivada

Taxa de Variação Média como Inclinação da Reta Secante

Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da Reta Tangente

Derivada como Inclinação da Reta Tangente

Reta Tangente à Curva em um Ponto

Diferentes Derivadas para Diferentes Pontos e a Função Derivada

Função Derivada

TÓPICO ESPECIAL – Linearidade Local

Linearidade Local

CAPÍTULO 7 – TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

Regras de Derivação

Função Constante

Função do 1o Grau

7

Sumário

8

Constante Multiplicando Função

Soma ou Diferença de Funções

Potência de x

Função Exponencial

Função Exponencial na Base e

Logaritmo Natural

Produto de Funções

Quociente de Funções

Função Composta – Regra da Cadeia

A Notação de Leibniz

Regra da Cadeia com a Notação de Leibniz

Derivada Segunda e Derivadas de Ordem Superior

Diferencial

TÓPICO ESPECIAL – Derivação Implícita

CAPÍTULO 8 – APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NO

ESTUDO DAS FUNÇÕES

Máximos e Mínimos

Máximo e Mínimo Locais

Máximo e Mínimo Globais

Pontos Onde a Derivada Não Existe Analisados Graficamente

Derivada e o Crescimento/Decrescimento de uma Função

Pontos Críticos

Teste da Derivada Primeira

Derivada Segunda e a Concavidade de um Gráfico

Derivada Segunda e o Comportamento da Derivada Primeira

Derivada Segunda e as Taxas de Crescimento/Decrescimento

Teste da Derivada Segunda

Ponto de Inflexão

Como Encontrar um Ponto de Inflexão

Observações gerais

TÓPICO ESPECIAL – Ponto de Inflexão e seu Significado Prático

CAPÍTULO 9 – APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS

ÁREAS ECONÔMICA E ADMINISTRATIVA

Funções Marginais

O Custo Marginal na Produção de Eletroeletrônicos

Função Custo Marginal e Outras Funções Marginais

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

Custo Marginal

Receita Marginal

Lucro Marginal

Custo Médio Marginal

Elasticidade

Elasticidade-Preço da Demanda

Classificação da Elasticidade-Preço da Demanda

Elasticidade-Renda da Demanda

Relação entre Receita e Elasticidade-Preço da Demanda

Propensão Marginal a Consumir e a Poupar

TÓPICO ESPECIAL – Modelo de Lote Econômico

Lote Econômico de Compra

CAPÍTULO 10 – O CONCEITO DE INTEGRAL

Integral Definida a partir de Somas

Variação da Produção a partir da Taxa de Variação

Estimativa para a Variação da Produção a partir da Taxa de Variação

Variação da Produção e a Integral Definida

Integral Definida como Área

Integral Definida para f(x) positiva

Integral Definida para f(x) negativa

Cálculo da Área entre Curvas

Valor Médio e a Integral Definida

Primitivas e o Teorema Fundamental do Cálculo

Primitivas

Teorema Fundamental do Cálculo

TÓPICO ESPECIAL – Regra de Simpson (Integração Numérica)

CAPÍTULO 11 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Integral Indefinida

Primitivas e a Integral Indefinida

Regras Básicas de Integração

Função Constante

Potência de x

Constante Multiplicando Função

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Sumário

Soma ou Diferença de Funções

Função

Função Exponencial

Função Exponencial na Base e

Integração por Substituição

Um Exemplo do Método da Integração por Substituição

Passos para Aplicar o Método da Substituição

Integração por Partes

Fórmula para Integração por Partes

Integral do Logaritmo Natural

Integrais Definidas

TÓPICO ESPECIAL – integrais impróprias

CAPÍTULO 12 – APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS

Integrando Funções Marginais

Integral Definida da Taxa de Variação como a Variação

Total da Função

Excedente do Consumidor

Excedente do Produtor

Valor Futuro e Valor Presente de um Fluxo de Renda

Capitalização Contínua

Valor Futuro de um Fluxo de Renda

Valor Presente de um Fluxo de Renda

TÓPICO ESPECIAL – O Índice de Gini e a Curva de Lorenz

APÊNDICE

Exercícios de Revisão para o Ensino Fundamental e Médio

f (x) = 1

x

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Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

11

capítulo 2

FUNÇÃO DO 1O GRAU

Modelos lineares

Analisaremos agora as funções do primeiro grau; estas representam um dos

tipos de funções mais simples e de grande utilização.

Funções do 1o grau

No exemplo a seguir, a Tabela 2.1 traz o custo para a produção de camisetas.

Tabela 2.1 Custo para a produção de camisetas

Quantidade (q) 0 5 10 20 50 100

Custo (C) (R$) 100 110 120 140 200 300

Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o

custo aumenta em R$ 10,00; se há um aumento de 10 unidades, o custo

aumenta em R$ 20,00, ou ainda, para um aumento de 30 unidades, o custo

aumenta em R$ 60,00. Concluímos que uma variação na variável independente

gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que

caracteriza uma função do 1o grau.

Para um maior entendimento da função do 1o grau desse exemplo,

podemos calcular a taxa de variação média, ou simplesmente taxa de

variação da variável dependente, C, em relação à variável independente, q,

pela razão

12

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

Nesse exemplo, a razão m = 2 dá o acréscimo no custo correspondente

ao acréscimo de 1 unidade na quantidade.

Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas (q = 0),

haverá um custo fixo de R$ 100,00. Tal custo pode ser atribuído à manutenção

das instalações, impostos, despesas com pessoal etc.

De um modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela

soma de uma parte variável, o custo variável, com uma parte fixa, o custo

fixo:

C = Cv + Cf

Para o nosso exemplo, podemos obter a função do custo pela relação

C = 2q + 100

onde Cv = 2q e Cf = 100.

O gráfico da função de 1o grau é uma reta, onde m = 2 dá a inclinação

da reta e o termo independente 100 representa o ponto em que a reta corta

o eixo vertical.

Figura 2.1 Custo para a produção de camisetas.

C

200

140

100

variação em q = 30

variação em C = 30

C = 2q + 100

20 50

q

m = variação em C = 10 = 20 = 60 = = 2

variação em q 5 10 30

Capítulo 2 – Função do 1o Grau

13

Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisar

agora a função receita obtida com a comercialização das unidades.

Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitário,

p, pela quantidade, q, comercializada, ou seja,

R = p.q

Supondo em nosso exemplo que o preço para a comercialização de cada

camiseta seja R$ 7,00, obtemos a função receita

R = 7q

notando que a taxa de variação para essa função de 1o grau é m = 7 (inclinação

da reta) e o termo independente é 0 (onde corta o eixo vertical).

O gráfico para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos

coordenados.

Figura 2.2 Receita para a comercialização de camisetas.

R

280

70

10 40

variação em q = 30

R =7q

variação em R = 210

q

Dadas as funções custo e receita é natural questionarmos sobre a função

lucro. De um modo geral, a função lucro é obtida fazendo receita

menos custo:

Lucro = Receita Custo

Para o nosso exemplo, chamando L o lucro e supondo que as quantidades

produzidas de camisetas são as mesmas comercializadas, temos

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Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

L = R C

L = 7q (2q + 100)

L = 5q 100

Nesse caso, notamos que a função lucro também é uma função de 1o

grau, cujo gráfico é uma reta de inclinação m = 5 e que corta o eixo vertical

em 100.

Figura 2.3 Lucro para a comercialização de camisetas.

L L = 5q

100

-100

20 40 q

Podemos observar pelo gráfico que a reta corta o eixo horizontal em q

= 20. Na verdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo L = 0

L = 0

5q 100 = 0

q = 20

Tal valor indica que, se q < 20, temos lucro negativo (L < 0, o que indica

prejuízo) e, se q > 20, temos lucro positivo (L > 0). Na verdade, podemos

obter a quantidade que dá lucro zero fazendo receita = custo

L = 0

R C = 0

R = C

Graficamente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de

break-even point e é dado pelo encontro das curvas que representam a

receita e o custo. No nosso exemplo, é dado pelo encontro das retas R = 7q

e C = 2q + 100.


  :: Dados Técnicos

  Edição:
  ISBN: 9788522103997
  Nº de páginas: 480
  Editora: Cengage Learning


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